Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，请直接写出P点的坐标．

Answer

（1）；（2）；（3）（1，）．

【解析】

试题分析：（1）先根据题意得到点A、B、C的坐标，再根据待定系数法即可求得结果；

（2）先把（1）中的函数关系式配方为顶点式，即可求得顶点坐标，过G作GH⊥AB，垂足为H．即可得到AH＝BH＝1，GH＝－2＝．由EA⊥AB，GH⊥AB，可得GH是△BEA的中位线，从而可得EA＝3GH＝．过B作BM⊥OC，垂足为M．MB＝OA＝AB．由∠EBF＝∠ABM＝90°，可得∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．即可证得Rt△EBA≌Rt△FBM．再根据全等三角形的性质即可求得结果；

（3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，得点C1的坐标为（－1，1）．可求出直线BC1的解析式为．再求的直线与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1，）．从而得到结果．

（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.

设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.

则解得   

∴；

（2）由＝．

∴顶点坐标为G（1，）．

过G作GH⊥AB，垂足为H．

则AH＝BH＝1，GH＝－2＝．

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位线 ．

∴EA＝3GH＝．

过B作BM⊥OC，垂足为M ．

则MB＝OA＝AB．

∵∠EBF＝∠ABM＝90°，

∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．

∴Rt△EBA≌Rt△FBM．

∴FM＝EA＝．

∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，

∴CF＝FM＋CM＝；

（3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，得点C1的坐标为（－1，1）．可求出直线BC1的解析式为． 

直线与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1，）．点P的坐标为（1，）．

考点：二次函数的综合题