Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer

（1）通过角度的转化和逆运算求证（2）6

【解析】

试题分析：、(1)证明：连接OC， ……… 1分

∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ……… 1分

∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，

∴∠CAD＋∠DCA＝90°.

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC＝∠CAO.

∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.   ……… 1分

又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，

∴CD为⊙O的切线．                ……… 1分

(2)【解析】
过O作OF⊥AB，垂足为F，   ……… 1分

∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，

∴四边形OCDF为矩形，          

∴OC＝FD，OF＝CD.

∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.

∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，

∴AF＝5－x.                  ……… 1分

在Rt△AOF中，由勾股定理得

AF2＋OF2＝OA2.

即(5－x)2＋(6－x)2＝25，

化简得：x2－11x＋18＝0，

解得x＝2或x＝9.

由AD