Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC＝∠CAD.

（1）若∠ABC＝20°，则∠OCA的度数为    ；

（2）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半径．

Answer

（1）70°；（2）相切；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接OA，根据圆周角定理可求得∠AOC的度数，再根据圆的基本性质即可求得结果；

（2）延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．先根据圆周角定理求得∠ECA＝90°，再结合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可证得结论；    

（3）设OD与AB的交点为点G．根据垂径定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，设OA＝x，根据勾股定理即可列方程求解．

（1）连接OA

∵∠ABC＝20°

∴∠AOC＝40°

∵OA=OC

∴∠OCA＝70°； 

（2）延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ECA＝90°，

∴∠EAC＋∠AEC＝90°．

又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，

∴∠EAC＋∠CAD＝90°．

即OA⊥AD，而点A在⊙O上，

∴直线AD与⊙O相切；    

（3）设OD与AB的交点为点G．

∵OD⊥AB，

∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，

在Rt△ACG中，可得GC＝3．  

在Rt△OGA中，设OA＝x，

由OA2＝OG2＋AG2，得x2＝(x－3)2＋42  

解得x＝，即⊙O的半径为．

考点：圆的综合题