Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（－6，0）B（2，0）C（0，8）

（2） （3），

（4）存在

【解析】

试题分析：（1）解方程得，

∵点 B 在x轴的正半轴上， 点C在y轴的正半轴上， 且

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线的对称轴是直线

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

（2）∵点C（0，8）在抛物线的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

解得   

∴所求抛物线的表达式为

（3）依题意，，则，

∵，，∴

∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC

∴ 即

∴EF＝

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则

∴＝ ∴FG＝·＝

∴

＝

自变量m的取值范围是

（4）∵ 且，

∴当时，S有最大值，

∵，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．

考点：函数图象与几何的结合