Question

如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝3，AB＝4．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）连接BG，求的值．

Answer

（1）连接OD，根据圆的基本性质可得∠OBD=∠ODB，再由AC=BC可得∠OBD=∠A，即可得到∠ODB=∠A，从而可得OD//AC，再结合DF⊥AC即可证得结论；(2)

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据圆的基本性质可得∠OBD=∠ODB，再由AC=BC可得∠OBD=∠A，即可得到∠ODB=∠A，从而可得OD//AC，再结合DF⊥AC即可证得结论；

（2）设CG=x，BC=3，CG=x， AG=3-x，AB=4，再根据勾股定理即可列方程求解.

（1）连接OD

∵OB=OD 

∴∠OBD=∠ODB

∵AC=BC 

∴∠OBD=∠A

∴∠ODB=∠A

∴OD//AC

∴∠EDO=∠EFC=90°

∴EF为切线；

(2) 设CG=x，BC=3，CG=x， AG=3-x，AB=4

由可得，解得x=，

则sin∠GBC=.

考点：圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理