Question

如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE； ②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的个数是

A．2个             B．3个              C．4个              D．5个

Answer

B

【解析】

试题分析：根据正方形的性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE=CE，∴①正确；

过F作FH⊥BC于H，

∵BF=BC=1，

∴∠BFC=∠FCB=15°，

∴FH=BF=，∴②错误；

∵Rt△BHF中，FH=，BF=1，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴AE=CE，

在EF上取一点N，使BN=BE，

又∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，

∴△NBE为等边三角形，

∴∠ENB=60°，又∠NFB=15°，

∴∠NBF=45°，又∠EBC=45°，

∴∠NBF=∠EBC，又BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，

可证△FBN≌△CBE，

∴NF=EC，

故BE+EC=EN+NF=EF，

∴③正确；

过A作AM⊥BD交于M，

根据勾股定理求出BD=，

由面积公式得：AD×AB=BD×AM，解得

∵∠ADB=45°，∠AED=60°，

∴，

∴，∴④错误；

故选B.

考点：正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质