Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，且两点的横坐标分别为1和4．

（1）求点B的坐标；

（2）求二次函数的函数表达式；

（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B(7，0)；（2）；（3）P(6，5)或P（8，-7）

【解析】

试题分析：（1）根据C点的横坐标为4可得抛物线的对称轴为x=4，根据抛物线的对称性即可求得结果；

（2）把点A、B的坐标代入函数关系式，即可根据待定系数法求得结果；

（3）设存在P（x，y）使得∠BAP=45°，分①P在x轴上方，②P在x轴下方，根据抛物线上的点的坐标的特征即可求得结果.

（1）∵两点的横坐标分别为1和4

∴抛物线的对称轴为x=4

∴点B的坐标为(7，0)；

（2）∵A（1，0），B（7，0）在抛物线上

∴

∴

∴；

（3）设存在P（x，y）使得∠BAP=45°

①P在x轴上方的时候，做PE⊥x轴于E，则x-1=y

即：x-1=

解得（舍去）

②P在x轴下方的时候，做PE⊥x轴于F，则x-1=-y

即：x-1=

解得（舍去）

∴存在点P(6，5)或P（8，-7）使得∠BAP=45°.

考点：二次函数的综合题