Question

某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40％.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（2）设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？

Answer

（1）y＝－10x＋1000，50≤x≤70；（2）w＝－10(x－75)2＋6250，x＝70，利润最大为6000元

【解析】

试题分析：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，根据待定系数法即可求得结果；

（2）先根据总利润＝总销售额－总成本列出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质即得结果.

（1）最高销售单价为50(1＋40%)＝70(元)

根据题意设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)

∵ 函数图象经过点(60，400)和(70，300)，

∴ 解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋1000，x的取值范围是50≤x≤70；

（2）由题意得w＝(x－50)(－10x＋1000)－10x2＋1500x－50000＝－10(x－75)2＋6250

∵a＝－10 ，

∴抛物线开口向下.

又∵ 对称轴是x＝75，自变量x的取值范围是50≤x≤70，

∴y随x的增大而增大

∴ 当x＝70时，w最大值＝－10(70－75)2＋6250＝6000(元).

∴ 当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元

考点：二次函数的应用