Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．

Answer

（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠DCB=∠ODC，再根据三角形的外角的性质得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到结论；（2）2

【解析】

试题分析：（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠DCB=∠ODC，再根据三角形的外角的性质得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到结论；

（2）过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，根据垂径定理可得CM=DM，又O为EC的中点，可得OM为△DCE的中位线，即可求得DE的长，在Rt△OCM中，根据含30°的直角三角形的性质可得OC=2OM=2，Rt△BDO中，OE=BE，可得DE=BO，即得BO=BE+OE=2OE=4，在Rt△BDO中，根据勾股定理即可求得结果．

（1）连接OD，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∠DOB为△COD的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

又∵∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠DOB，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠BDO=90°，

∴OD⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）过点O作OM⊥CD于点M，连接DE

∵OM⊥CD，

∴CM=DM，又O为EC的中点，

∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，

∴DE=2OM=2，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∵Rt△BDO中，OE=BE，

∴DE=BO，

∴BO=BE+OE=2OE=4，

∴OD=OE=2，

在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=2．

考点：圆的综合题