Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线l相交于A、B两点．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 设点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PAE的周长最小时，求点P的坐标；

⑶ 在x轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式是：

（2）P点坐标为（，）

（3）在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：M1(－，0)，M2(，0)，M3(，0)，M4(，0)

【解析】

试题分析：⑴ 直线l：交y轴于点A(0，2)，

∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线上的点，

∴，解得．

∴抛物线的解析式是：．

⑵ ∵=，∴对称轴为x=，

点E（－1，0）关于x=的对称点为F(4，0)．

如图⑴所示，联结AF，与对称轴x=的交点即为所求P点，由于E、F两点关于对称轴对称，则此时△PAE的周长=PA+PE+AE

=" PA+PF+AE=" AF+AE最小．

设直线AF的解析式为y=kx+2，

把F（4，0）代入，可得4k+2=0，解得k＝－，

∴直线AF解析式为y=－x＋2．

当x=时，y=，∴P点坐标为（，）．

⑶ 设在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，

① 若∠BAM=900，此时点M应在x轴的负半轴上，如图⑵，

设直线l：交x轴于点C，令y=0，得x=6，∴C（6，0）．

由AM1⊥AB，OA⊥OC，可证△AOC∽△M1OA，

∴．

∵AO=2，OC=6，∴，

∴OM1=，∴M1(－，0)．

② 若∠ABM=90°，此时点M应在x轴的正半轴上，如图⑵，

∵点B是直线和抛物线的交点，

∴，解得，或(舍)

∴B(，)．

解法一：设M(m，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△CDB，

∴ ．

∵BD=，M2D=－m，CD=6－=，

∴，解得m=，∴M2(，0)．

解法二：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵BM2∥AM1， ∴∠BM2D=∠AM1O，

∵tan∠AM1O＝＝3，

∴tan∠BM2D＝＝＝3，

∴M2D=．∴OM2=OD－M2D=－=，

∴M2(，0)．

③ 若∠AMB=90°，则点M是以AB为直径的圆与x轴的交点，此时点M应在x轴的正半轴上，如图⑶，

设M(t，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△AOM∽△MDB，

∴．

∵AO=2，MD=－t，OM=t，BD=，

∴，解得，

∴M3(，0)，M4(，0)．

综上所述，在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：M1(－，0)，M2(，0)，M3(，0)，M4(，0)．

考点：二次函数综合题