Question

如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

⑴ 求证：DE是⊙O的切线；

⑵ 已知⊙O的半径是6cm，EC＝8cm， 求GF的长．

Answer

（1）证明：联结OC．

∵AD是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，

∴∠OAC+∠DAC=90°．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵∠DAC=∠ACD，

∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，

∴AD是⊙O的切线．

（2）GF=2.4cm

【解析】

试题分析：⑴ 证明：联结OC．

∵AD是⊙O的切线，∴∠OAD=90°，

∴∠OAC+∠DAC=90°．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵∠DAC=∠ACD，

∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，

∴AD是⊙O的切线．

⑵ 联结BG，

∵OC=6cm，EC=8cm，

∴在Rt△CEO中，OE=10 cm．

∴AE="OE+OA=16" cm．

∵AF⊥ED，

∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．

∴Rt△AEF∽Rt△OEC．

∴＝，

∴AF==="9.6" cm．

∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°，

∴BG∥EF，

∴＝，

∴AG==="7.2" cm，

∴GF=AF－AG=9.6－7.2=2.4cm．

考点：圆的综合题，圆的性质，相似三角形的判定