Question

在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．

⑴ 判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；

⑵ 联结BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer

⑴△ABP与△PCE相似．（2）BP=

【解析】

试题分析：【解析】
⑴△ABP与△PCE相似．

理由如下：

∵矩形ABCD，∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAP＋∠BPA＝90°，

∵PE⊥AP， ∴∠CPE＋∠BPA＝90°，

∴∠BAP＝∠CPE，

∴Rt△ABP∽Rt△PCE．

⑵ 解法一：由⑴得△ABP∽△PCE

∴＝，即＝，

∵PE∥BD，

∴＝，即＝，

∴＝，

∵ AB＝CD＝2，BC=AD＝3，

∴BP＝=．

解法二：由⑴得△ABP∽△PCE

∴＝，

∵ AB＝2，AD＝3，设BP=x，则PC=3－x，代入上式得

=，

∴CE＝，

∵PE∥BD，

∴＝，即＝，

解得=，或＝3(不合题意，舍去)，

即BP=．

考点：相似三角形的判定；一元一次方程的解法