Question

如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC, 作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD交半圆于E,交过C点的切线于点D.

(1)试判断AD与CD有何位置关系,并说明理由;

(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.

Answer

（1）AD⊥CD；（2）

【解析】

试题分析：(1)连接OC，则OC⊥CD，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，即可得到∠DAC=∠OCA，再根据平行线的性质即可得到结果；

(2)连接BC,根据圆周角定理可得∠ACB=90°，证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得结果.

(1)连接OC

则OC⊥CD.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

又∠OAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AD∥OC,

∴AD⊥CD.

(2)连接BC

则∠ACB=90°

由(1)得∠ADC=∠ACB,

又∠DAC=∠CAB.

∴△ACD∽△ABC,

∴,即AC2=AD·AB=80,故AC=.

考点：切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质