Question

如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.

(1)P是上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.

(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.

Answer

(1)相等；（2）∠CP′D+∠COB=180°

【解析】

试题分析：(1)连接OD,根据垂径定理可得∠COB=∠DOB，再结合圆周角定理即可得到结果；

(2)连接P′P,则可得∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.即可得∠P′CD+∠P′DC=∠CPD，从而可以得到结果.

从而∠CP′D+∠COB=180°.

(1)连接OD,

∵AB⊥CD,AB是直径,

∴,

∴∠COB= ∠DOB.

∵∠COD=2∠P,

∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.

(2)连接P′P,

则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.

∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.

∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 

从而∠CP′D+∠COB=180°.

考点：垂径定理，圆周角定理