Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论；

（3）说明，当点O运动到何处时，且△ABC具备什么条件时，四边形AECF是正方形（不证明）

Answer

（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO；（2）当点O在AC的中点时；（3）当点O在AC的中点，且∠ACB=90°时

【解析】

试题分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO；

（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形；

（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．

（1）∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴EO=FO；

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，

又∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四边形AECF是矩形；

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则

∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．

考点：角平分线的性质，正方形和矩形的判定