Question

（本题12分）已知两直线，分别经过点A(3，0)，点B(－1，0)，并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点D，如图所示。

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当直线绕点C顺时针旋转一个锐角时，它与抛物线的另一个交点为P(x，y)，求四边形APCB面积S关于x的函数解析式，并求S的最大值；

（3）当直线绕点C旋转时，它与抛物线的另一个交点为P，请找出使△PCD为等腰三角形的点P，并求出点P的坐标。

Answer

（1）可由两角相等证得：△BOC∽△COA。

得，即，

∴，

∴C(0，－)

设，把(0，－)代入，得a＝，

∴抛物线的函数解析式为

（2）

（0＜x＜3）

当x＝时，S的最大值是

（3）可得直线为，直线为，

抛物线的对称轴为，抛物线顶点为(1，)，由此得D(1，)

① 以点D为圆心，线段DC长为半径画弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点，

∴点(2，)，此时△为等腰三角形；

② 当以点C为圆心，线段CD长为半径画弧时，与抛物线交点为点和点B，而三点B、C、D在同一直线上，不能构成三角形；

③ 作线段DC的中垂线，交CD于点M，交抛物线于点P2，P3，交y轴于点F，

因为BO＝1，，所以∠MCF＝∠OCB＝30°，

而CD＝2，CM＝CD＝1，则CF＝，OF＝，

则F(0，)，因∥，所以直线为，

代入，解得x＝1或x＝2，

说明P2就是顶点(1，)，

P3就是P1(2，)

综上所述，当点P为(－2，)或(1，)时，△PCD为等腰三角形。

【解析】

试题分析：（1）由两组底脚相等，推导出两个三角形相似，从而确立C点坐标，再结合AB两点的坐标，可以求得二次函数解析式。

（2）由于绕C点运动，因此P的坐标设为(x,y)，四边形面积可以写为，无未知量，和可以由的高分别为-y和x，又P点为抛物线上一点，所以可以算出y和x的关系式，进而求出S与x的函数式。由于解出来的函数为二次函数，x的取值范围已知，求出函数对称轴，得出函数对称轴在此范围内，所以要求最大值，实际上则是代入对称轴所对应的x值，可得出S。

（3）通过分类讨论，各种不同的情况所对应的等腰三角形也不相同，由已知条件可以推导出两条直线的方程，结合函数图像，可以得出P点的坐标。

考点：函数图像；几何图形