Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²＋CD²＝2AB²．

（1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

Answer

（1）连接AC，先根据勾股定理可得，，再结合，可得，从而证得结果；

（2）过C作CF⊥BE于F，即可证得四边形CDEF是矩形，则可得CD＝EF，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠CB，即可证得△BAE≌△CBF，则可得AE＝BF，从而得到结果.

【解析】

试题分析：（1）连接AC

∵∠ABC＝90°

∴AB2＋BC2＝AC2

∵CD⊥AD

∴AD2＋CD2＝AC2

∵AD2＋CD2＝2AB2

∴AB2＋BC2＝2AB2

∴AB＝BC；

（2）过C作CF⊥BE于F

∵BE⊥AD

∴四边形CDEF是矩形.

∴CD＝EF

∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°

∴∠BAE＝∠CB

∴△BAE≌△CBF.

∴AE＝BF

∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.

考点：勾股定理，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质