Question

如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0,－3），且抛物线的对称轴是直线x=1．

（1）求b的值；

（2）点E是y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当线段PQ = AB时，求点E的坐标；

（3）若点M在射线CA上运动，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，以M为圆心，MN为半径作⊙M,当⊙M与x轴相切时，求⊙M的半径.

Answer

（1）b="-2" （2）点E的坐标为（0，- ） （3）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由图可知，对称轴x=1

X===1

即b=-1

（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1

∴设抛物线的解析式为y＝(x-1)2＋k

∵抛物线过点C（0,－3），

∴ (0-1)2＋k＝-3

解得k＝-4

抛物线的解析式为y＝(x-1)2-4＝x2-2x-3

令y=0，则x2-2x-3=0

解得x1 = 3，x2 = -1

点A坐标为（-1,0），点B坐标为（3,0）

∴AB=4，又PQ = AB

∴PQ ="3"

∵PQ⊥y轴

∴PQ∥x轴

设直线PQ交直线x=1于点G

由抛物线的轴对称性可得，PG=

∴点P的横坐标为 -  

将点P的横坐标代入y＝x2-2x-3中，得y =" -"

∴点P坐标为（- ，- ）

∴点F坐标为（0，- ）

∴FC=" -"  -( -3)=  

∵PQ垂直平分CE

∴CE="2" FC=

∴点E的坐标为（0，- ）

(3)设直线l A C：y="k" x+ b(k≠0)

过点A（-1,0），C（0，-3）

∴y=-3x+3

∴M（xM,-3xM+3）

又∵⊙M与x轴相切，MN⊥y轴

∴x M=-3xM+3

∴x M=

∴⊙M的半径为

考点：一次函数与二次函数的综合运用