Question

如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推．

（1）填写下表：

层数	1	2	3	4	…
该层对应的点数	1	6	12	18	…
所有层的总点数	1				…

（2）写出第n层所对应的点数（n≥2）；

（3）写出n层的正六边形点阵的总点数（n≥2）；

（4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？

Answer

（1）7、19、37；（2）；（3）；（4）11层

【解析】

试题分析：根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6-6=6（个）点，第三层有3×6-6=12（个）点，根据这个特征得到规律，再把这个规律应用于解题即可．

（1）第一层上的点数为1；

第二层上的点数为6=1×6；

第三层上的点数为6+6=2×6；

第四层上的点数为6+6+6=3×6；

…

第n层上的点数为（n-1）×6；

则2层六边形点阵的总点数为1+6=7

3层六边形点阵的总点数为1+6+12=19

4层六边形点阵的总点数为1+6+12+18=37；

（2）n层六边形点阵的总点数为1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6

=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2

；

（3）由题意得

解得（舍去）

答：共有11层.

考点：找规律-图形的变化