Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；

（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²＋PB²＋PC²＝35，求点P的坐标.

Answer

（1）；（2）；（3）P（2，－2）或（2，）

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线顶点为M（2，－1），可设抛物线的解析式为线，再把点B（3，0）代入即可求得结果；

（2）先求得抛物线与y轴的交点坐标，可得∠ABC=45°，过点B作BN⊥x轴交CD于点N，根据轴对称的性质可得∠ACB=∠NCB，再结合公共边CB可得△ACB≌△NCB，即可得到BN=BA，根据抛物线的对称性求得点A的坐标，即可得到点N的坐标，再根据待定系数法即可求得结果；

（3）设P（2，p），先根据勾股定理表示出PM、PB、PC，再根据PM2＋PB2＋PC2＝35即可得到关于p的方程，解出即可.

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），

∴设抛物线的解析式为线

∵点B（3，0）在抛物线上，∴，解得

∴该抛物线的解析式为，即；

（2）在中，令x=0，得

∴C（0，3）

∴OB=OC=3 

∴∠ABC=45

过点B作BN⊥x轴交CD于点N，

则∠ABC=∠NBC=45°

∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，

∴∠ACB=∠NCB

又∵CB=CB，

∴△ACB≌△NCB

∴BN=BA

∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），

∴A（1，0）

∴BN=BA=2 

∴N（3，2）

设直线CD的解析式为，

∵C（0，3），N（3，2）在直线CD上，

∴，解得

∴直线CD的解析式为；

（3）设P（2，p）

∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3）

∴

∵PM2＋PB2＋PC2＝35

∴

整理得

解得

∴P（2，－2）或（2，）.

考点：二次函数的综合题