Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer

（1）根据旋转的性质即可证得结论；（2）直角三角形；（3）140°或110°或125°

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质即可证得结论；

（2）结合（1）的结论即可作出判断；

（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．

（1）根据题意知：△BOC≌△ADC

所以CO＝OD，ΔABC为等腰三角形

因为∠COD＝60°

所以△ADO是等边三角形

（2）由△ADO是等边三角形知∠ODC＝60°

由旋转知∠ADC＝∠BOC=150O

所以∠ADO=150-60=90O

所以三角形AOD为直角三角形

（3）1)当DO＝DC时

因为DO＝AO，DC＝BO    

所以OA＝OB

又因为OC＝OC，AC＝BC    

所以△ACO≌△BCO

所以∠ACO＝∠BCO＝60°/2＝30°  

因为∠BOC＝110°

所以∠AOC＝110°    

所以∠AOB＝360°－110°×2＝140°即x＝140

2)当DO＝CO时

因为DO＝AO所以OA＝OC    

又因为OB＝OB，AB＝BC

所以△ABO≌△CBO     

所以∠AOB＝∠COB＝110°即x＝110°

3)当CO＝CD时

因为CD＝BO

所以CO＝BO

因为AO＝AO，AB＝AC

所以△ABO≌△ACO

所以∠AOB＝∠AOC

所以∠AOB＝(360°－110°)÷2＝125°，解得x＝125°

综上所述，当x＝140°或x＝110°或x＝125°时△DOC是等腰三角形

考点：旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰（边）三角形的判定与性质