Question

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）相切；（2）8

【解析】

试题分析：（1）由AB是直径根据圆周角定理可得∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，再结合∠A=∠OCA且∠DCB=∠A，即可证得∠OCD=90°，从而可以证得结论；  

（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，可得∠COD=60°，即可得到∠A=30°，从而可得∠BCD=30°，再根据等角对等边可得BC=BD=8，最后根据含30°的直角三角形的性质即可求得结果.

（1）∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB 

∴∠OCD=90°

∴CD是⊙O的切线；    

（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，

∴∠COD=60°

∴∠A=30°

∴∠BCD=30°

∴BC=BD=8

∴AB=16

∴r=8              

∴⊙O的半径是8．

考点：圆周角定理，切线的判定，含30°的直角三角形的性质