Question

已知，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴正半轴上，边OA在y轴正半轴上，B点的坐标为(4，3)．将△AOC沿对角线AC所在的直线翻折，得到△AO’C，点O’为点O的对称点，CO’与AB相交于点E(如图①)．

(1)试说明：EA＝EC；

(2)求直线BO’的解析式；

(3)作直线OB(如图②)，直线l平行于y轴，分别交x轴、直线OB、O’B于点P、M、N，设P点的横坐标为m(m＞0)．y轴上是否存在点F，使得ΔFMN为等腰直角三角形?若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由折叠的性质可得∠ACO=∠ACE，再根据矩形的性质可得∠EAC=∠ACO，即可得到∠EAC=∠ACE，从而证得结论；（2）；（3）m=、m=、m=12

【解析】

试题分析：（1）由折叠的性质可得∠ACO=∠ACE，再根据矩形的性质可得∠EAC=∠ACO，即可得到∠EAC=∠ACE，从而证得结论；

（2）先由折叠的性质求得点O’的坐标，即可得到结果；

（3）根据等腰直角三角形的性质结合一次函数的性质即可求得结果.

（1）由题意得∠ACO=∠ACE，

∵矩形OABC

∴AB∥CO

∴∠EAC=∠ACO

∴∠EAC=∠ACE

∴EA＝EC；

（2）由题意得点O’的坐标为（，）

设函数关系式为

∵图象过点（，），（4，3）

，解得

∴函数关系式为；

（3）当∠FMN=90°时，可得m=；

当∠FNM=90°时，可得m=；

当∠NFM=90°时，可得m=12.

考点：矩形的性质，一次函数的应用