Question

操作与探索：

已知点O为直线AB上一点，作射线OC，将直角三角板ODE放置在直线上方(如图①)，使直角顶点与点O重合，一条直角边OD重叠在射线OA上，将三角板绕点O旋转

（1）当三角板旋转到如图②的位置时，若OD平分∠AOC，试说明OE也平分∠BOC.

（2）若OC⊥AB，垂足为点O(如图③)，请直接写出与∠DOB互补的角                       

（3）若∠AOC=135°(如图④)，三角板绕点O按顺时针从如图①的位置开始旋转，到OE边与射线OB重合结束. 请通过操作，探索：在旋转过程中，∠DOB∠COE的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请用含有n(n为三角板旋转的度数)的代数式表示这个差.

Answer

（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可证得结论；（2）∠AOD、∠COE；

（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=135°，②若n＞45°，∠DOB∠COE=225°2n

【解析】

试题分析：（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可证得结论；

（2）由OC⊥AB可得∠AOD+∠COD=90°，由∠DOE=90°可得∠COD+∠COE=90°，即可得到∠AOD=∠COE，从而可以求得与∠DOB互补的角；

（3）由于旋转45°时，OE与OC重合，故要分n≤45°与n＞45°两种情况分析.

（1）∵OD平分∠AOC

∴∠AOD=∠COD

∵∠DOE=90°

∴∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°

∴∠COE=∠EOB

∴OE也平分∠BOC；

（2）∵OC⊥AB，∠DOE=90°

∴∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=90°

∴∠AOD=∠COE

∴与∠DOB互补的角为∠AOD、∠COE；

（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（45°-n）=180°-n-45°+n=135°，

②若n＞45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（n-45°）=180°-n-n+45°=225°2n.

考点：旋转的性质，角平分线的性质，互补的定义，同角的余角相等