Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG。

（1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；

（2）连结FC，求证∠FCN=45°；

（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可证得结果；（3）存在

（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．

【解析】

试题分析：（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；

（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可证得结果；

（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可证得结果．

（1）如图

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°

∴∠DAG=∠BAE

∴△ADG≌△ABE；

（2）过F作BN的垂线，设垂足为H

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°

∴∠BAE=∠HEF

∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF

∴AB=EH，BE=FH

∴AB=BC=EH

∴BE+EC=EC+CH

∴CH=BE=FH

∴∠FCN=45°；

（3）在AB上取AQ=BE，连接QD

∵AB=AD

∴△DAQ≌△ABE

∵△ABE≌△EHF

∴△DAQ≌△ABE≌△ADG

∴∠GAD=∠ADQ

∴AG、QD平行且相等

又∵AG、EF平行且相等

∴QD、EF平行且相等

∴四边形DQEF是平行四边形

∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．

考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定