Question

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动.

（1）求BD的长；

（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s. 经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；

（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求的值.

Answer

（1）48cm；（2）直角三角形；（3）4或12或24

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质结合可得△ABD是等边三角形，即可求得结果；

（2）先分别求得12秒后点P和点Q到达的位置，连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形，根据等边三角形即可得到结果；

（3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3cm，分当点Q在NB上时，当点Q在BC上时，当点Q与点C重合时，三种情况，结合菱形的性质进行分析即可.

（1）∵四边形ABCD是菱形

∴AB="BC=CD=AD=48"

又∵

∴△ABD是等边三角形

∴BD=AB=48

∴BD的长为48cm；

（2）如图1，12秒后，点P走过的路程为8×12=96

∴12秒后点P到达点D（M）

又∵12秒后，点Q走过的路程为10×12=120

∴12秒后点Q到达AB的中点N

连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形

∴MN⊥AB于点N

∴

∴△AMN是直角三角形；

（3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3cm

∴点E是BD的中点

∴DE=BE=24

当点Q在NB上时（如图1），

∴

∵点E是BD的中点

若EF1⊥DB，则点F1与点A重合，这种情况不成立

∴EF1⊥AB时，∠EF1B=∠ANM = 90°

由（1）知∠ABD =∠A = 60°

∴△EF1B∽△MAN

∴

∴

∴，

如图2，由菱形的轴对称性，当点Q在BC上时，

∴点Q走过的路程为36cm

∴

如图3，当点Q与点C重合时，即点F与点C重合

由（1）知，△BCD是等边三角形

∴EF3⊥BD于点E，∠EBF3=∠A=60°

∴△F3EB∽△MNA

此时BF3=48

∴点Q走过的路程为72cm

∴

综上所述，若△BEF∽△ANM ，则的值为4cm/s或12cm/s或24cm/s.

考点：菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质