Question

在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且∠ABE=∠DBC.

 

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）若，CD=2，求⊙O的半径.

Answer

（1）连接OE，根据矩形的性质可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再结合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，从而可以证得结论；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OE，根据矩形的性质可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再结合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，从而可以证得结论；

（2）由∠ABE =∠DBC可得，即可求得DB的长，再根据勾股定理求得DE的长，

连接EF，根据圆周角定理可得∠DEF=∠A=90°，再证得∽，根据相似三角形的性质即可求得结果.

（1）连接OE

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，∠C=∠A=90°

∴∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°

∵OD=OE，∠ABE=∠DBC

∴∠2=∠3=∠ABE

∴∠2+∠1=90°

∴∠BEO=90°

∵点E在⊙O上

∴BE与⊙O相切；

（2）∵∠ABE =∠DBC

∴

∵DC=2，∠C=90°

∴DB=6

∵∠A=90°

∴BE=3AE  

∵AB=CD=2

利用勾股定理，得，

∴

连接EF  

∵DF是⊙O的直径，

∴∠DEF=∠A=90°

∴AB∥EF

∴∽ 

∴ 

∴

∴

∴⊙O的半径为.

考点：矩形的性质，切线的判定，正弦，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质