Question

如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer

（1）， 0＜x＜1；（2）能，此时BE的长为或

【解析】

试题分析：（1）先根据等腰三角形的性质及勾股定理得到∠B=∠C，，再由，可证得△BPE∽△CEQ，根据相似三角形的性质可得，设BP为x，CQ为y，即得，从而可以求得结果；

（2）由∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C可得AE≠AQ ，当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ，即可得到CE=AB=2，从而可以求得BE的长；当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°，则可得AE⊥BC ，即得点E是BC的中点，从而可以求得BE的长..

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2

∴∠B=∠C，

又∵，

∴∠DEB=∠EQC

∴△BPE∽△CEQ

∴

设BP为x，CQ为y

∴

∴，自变量x的取值范围是0＜x＜1；

（2）∵∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C

∴∠AQE＞∠AEF

∴AE≠AQ

当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ

∴CE=AB=2

∴BE=BC-EC=

当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°

∴AE⊥BC

∴点E是BC的中点.

∴BE=                

综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE的长为或.

考点：相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质