Question

如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C，连结BC，AF．

（1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半径的长．

Answer

（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共边PO可证得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而可以证得结论；（2）5

【解析】

试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO＝90°，再有OA＝OB，BA⊥PO于D，公共边PO可证得△PAO≌△PBO，即得∠PAO＝∠PBO＝90°，从而可以证得结论；

（2）设AD＝x，根据∶=1∶2，即可表示出FD＝2x，OA＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，根据勾股定理即可列方程求解．

（1）如图，连接OB

∵PB是⊙O的切线

∴∠PBO＝90°

∵OA＝OB，BA⊥PO于D

∴AD＝BD，∠POA＝∠POB

又∵PO＝PO

∴△PAO≌△PBO

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∴直线PA为⊙O的切线；

（2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6

∴OD＝BC＝3

设AD＝x

∵∶=1∶2

∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3

在Rt△AOD中，由勾股定理得(2x－3)2＝x2＋32

解得x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）

∴AD＝4，OA＝2x－3＝5

即⊙O的半径的长5．

考点：切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理