Question

如图，在正方形中，是边上的中点，与相交于点，连接.(注：正方形的四边相等，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角). 

(1) 在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）

(2) 连接试判断与的位置关系,并证明你的结论．

(3)延长交于点,试判断与的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△BCF≌△DCF；（2）AE⊥DF；（3）BM=MC．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质得到相关的条件即可找出全等的三角形；

（2）可证△BCF≌△DCF得∠CBF=∠CDF，再证△ADE≌△BCE得∠DAE=∠CBE，故∠DAE=∠CDF，又∠DAE+∠AED=90°，则∠CDF +∠AED=90°，即AE⊥DF；

（3）可证△DCM≌△BCE得CE=CM，又CE=CD，CD=BC，故CM=BC，即BM=MC．

（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF；

（2）AE⊥DF．

证明：设AE与DF相交于点H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．

又∵AF=AF，

∴△ADF≌△ABF．

∴∠1=∠2．

又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，

∴△ADE≌△BCE．

∴∠3=∠4．

∵∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AHD=90°．

∴AE⊥DF；

（3）如图所示：

∵∠ADE=90°，AE⊥DF．

∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．

∴∠3=∠5，

∵∠3=∠4，

∴∠4=∠5．

∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，

∴△DCM≌△BCE．

∴CE=CM，

又∵E为CD中点，且CD=CB，

∴CE=CD=BC，

∴CM=CB，即M为BC中点，

∴BM=MC．

考点：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定