Question

如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交

于点．

⑴试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；

⑵当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；

⑶若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

Answer

⑴证明：在正方形中，无论点运动到上何处时，都有

=  ∠=∠  =  ∴△≌△

⑵△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作⊥于,⊥于，

则 =

==            ∴= 

由△ ∽△得        解得

∴时，△的面积是正方形面积的

⑶若△是等腰三角形，则有 =或=或=

①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知  =

此时△是等腰三角形

②当点与点重合时，点与点也重合，此时=, △是等腰三角形

③：如图，

设点在边上运动到时，有=

∵ ∥       ∴∠=∠

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠   ∴ ==

∵=    =  =4   ∴

即当时，△是等腰三角形.

【解析】（1）两边一角 AQ=AQ ，AB=AD=4，∠DAQ=∠BAQ=45度 所以两个三角形全等。

（2）做QE垂直于AD， △DQE相似于△DPA ，△ADQ面积=ADQE/2，正方形面积=ADAB，△ ADQ的面积是正方形面积的1/6， 则QE=AB/3=4/3，△AQE是等腰直角三角形，则AQ=QE=4/3，DQ=AD-AQ=8/3， △DQE相似△DPA中， DQ/AD=QE/AP，带入数据得：8/3 /4= 4/3 /AP，故AP=2，因为AB=4 则P点正好运动到AB的中点

（3）假设△ADQ恰好为等腰三角形：:P在 ABC上运动 首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合 所以P运动到C点 △ADQ为等腰三角形；当P运动到B点时，AQ=QD △ADQ为等腰直角三角形；当AD=AQ=4时，△ADQ与△CPQ相似，则PC=CQ=AC-AQ= -4，则P运动到距离C点 -4时，△ADQ为等腰三角形