Question

如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；

（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

Answer

（1）见解析

（2）△ABH∽△ECM．见解析

EM==．

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，由AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，可得∠BAE=∠CEF，即可证得△ABE∽△ECF.

（2）由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，则有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM，则可证得△ABH∽△ECM.

（3）作MR⊥BC，垂足为R，由AB=BE=EC=2，可得AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，则∠MER=45°，CR=2MR，从而可得MR=ER=RC=，即可求得DE的长.