Question

已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.

（1）求AP的长；

（2）求证：点P在∠MON的平分线上；

（3） 如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

Answer

（1）4（2）证明见解析（3）①8+4 ②4+4＜t≤8+4。

【解析】【解析】
（1）过点P作PQ⊥AB于点Q 

∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4，

∴AQ=AB=×4=2 ，∠APQ=∠APB=×120°=60°。

在Rt△APQ中， sin∠APQ=

∴AP= ＝4。

（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，

∴∠OSP=∠OTP=90°。

在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。

又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。 ∴PS=PT。

∴点P在∠MON的平分线上。

（3） ①8+4 ②4+4＜t≤8+4。

（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。

（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。

（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。

①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；

②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。