Question

如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．

(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；

(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；

(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．

Answer

【解析】
(1) ∵四边形为正方形   ∴

∵、、在同一条直线上    ∴    ∴直线与⊙相切；

(2)直线与⊙相切分两种情况:

①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,

设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．

由∽ 得

∴ ∴，故直线的函数关系式为；

②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,

 设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．

由∽    得

∴ ∴，故直线的函数关系式为.

(3)设,则,由得

∴

∵

∴.

【解析】（1）由题意得 ，即直线与⊙相切；

（2）分两种情况：①如图1, 设点在第二象限时，过作轴于点，根据勾股定理及相似三角形对应边成比例即得结果；②如图2, 设点在第四象限时，过作轴于点，根据勾股定理及相似三角形对应边成比例即得结果；

（3）设,则,由得

则，再根据x的范围即得结果。