Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．

(1)求直线BC的解析式；

(2)求抛物线y＝ax²＋bx＋c的解析式及点P的坐标；

(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

Answer

（1）（2），，．（3），当点的坐标是时，，当点的坐标是时，

【解析】【解析】
（1），，，

是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，，

．．

设直线的解析式为，，．

直线的解析式为．····················· 4分

（2）抛物线关于轴对称，．············ 5分

又抛物线经过，两点．

解得

抛物线的解析式是．······· 7分

在中，，易得．

在中，，，易得．

是的角平分线．

直线与轴关于直线对称．

点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点． 8分

点在直线：上，

故设点的坐标是．

又点在抛物线上，

．解得，．

故所求的点的坐标是，．··············· 10分

（3）要求的取值范围，可先求的最小值．

I）当点的坐标是时，点与点重合，故．

显然的最小值就是点到轴的距离为，

点是轴上的动点，无最大值，．···· 13分

II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短．易求得．

的最小值是6．

同理没有最大值，的取值范围是．

综上所述，当点的坐标是时，，

当点的坐标是时， ．··············· 15分

（1）设直线解析式为，用待定系数法，由勾股定理得到点，而，把它们代入即可

（2）关于对称，则对称轴，再把点的坐标代入即可；由于点P关于直线AC的对称点在x轴上，利用直角三角形三角函数，得出直线与轴关于直线对称，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点，把与组成方程组，求方程组的解即可

      （3）要求范围，要求边界值，即求PM＋CM的最小值和最大值，当点的坐标是时，则，故最小值为，但没有最大值，故；当

点的坐标是时，把点和点分到轴的两侧，两点间连线最短，连线与轴的交点就点，的最小值是，同样没有最大值，故