Question

抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，

,，

（1）求二次函数的解析式；

（2）   在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）   平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．

Answer

（1）将代入，

   得 ．

   将，代入，

得 ．……….(1)

∵是对称轴，

∴．          (2)

将（2）代入（1）得

，    ．

所以，二次函数得解析式是．

（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．

∵点的坐标为，点的坐标为，

∴ 直线的解析式是，

又对称轴为，

∴ 点的坐标．   

（3）设、，所求圆的半径为r，

则 ，…………….(1)

     ∵ 对称轴为，

∴  ．        …………….(2)

由（1）、（2）得：．……….(3)

将代入解析式，

得  ，………….(4)

整理得： ．

由于 r=±y，当时，，

解得， ，  （舍去），

当时，，

解得，  ，  （舍去）．

    所以圆的半径是或．

【解析】（1）根据抛物线过C点，可得出c=-3，对称轴x=1，则-=1，然后可将B点坐标代入抛物线的解析式中，联立由对称轴得出的关系式即可求出抛物线的解析式．

（2）本题的关键是要确定P点的位置，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，因此可连接AC，那么P点就是直线AC与对称轴的交点．可根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式，进而可根据抛物线对称轴的解析式求出P点的坐标．

（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心必在对称轴上．因此可用半径r表示出M、N的坐标，然后代入抛物线中即可求出r的值．