Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，AB=OA，A（4，4）。

（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；

（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.

Answer

（1）作AE⊥OB于E，∵A（4，4），∴OE=4，

∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，∴OE=EB=4，

∴OB=8，∴B（8，0）

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

      ∵△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC，∠ACD=90°

      即∠ACF+∠DCF=90°，∵∠FDC+∠DCF=90°，∴∠ACF=∠FDC，又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA，∴EC=DF，FC=AE，∵A（4，4），∴AE=OE=4，∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，∴OF=DF，∴∠DOF=45°

∵△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°

方法二：过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，

则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，

又∵△ACD为等腰Rt△，∴∠ACK=90°－∠OCA=∠DCO，AC=DC，∴△ACK≌△DCO(SAS)，∴∠DOC=∠K=45°，∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°．

（3）成立，理由如下：

在AM上截取AN=OF，连EN．∵A（4，4），

∴AE=OE=4，又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF(SAS)

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，∴∠NEM=45°=∠FEM，又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM(SAS)，

∴MN=MF，∴AM－MF=AM－MN=AN，∴AM－MF=OF，

即

   方法二：在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，

     则△EAM≌△EON(SAS)，EN=EM，∠NEO=∠MEA，

     即∠NEF＋∠FEO=∠MEA，而∠MEA＋∠MEO=90°，

     ∴∠NEF＋∠FEO＋∠MEO=90°，而∠FEO＋∠MEO=45°，

     ∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF(SAS)，∴NF=MF，

     ∴AM=OF=OF＋NF=OF＋MF，即．

【解析】（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，证明△AOB为等腰直角三角形，则∠AOD的度数可求；

（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM-MF=OF，即可求证等式成立．