Question

如图，已知，AB的中垂线交于点，交于点， 平分.

（1）求证：∽；

（2）求的值；

（3）求的值；

Answer

证明： ∵AB的中垂线交于点

∴AD=BD

∴∠A=∠ABD

∵平分

∴∠A=∠ABD=∠DBC

又∠C是公共角

∴∽

（2）根据（1）可得：AD=BD=BC

设AC=1，AD=x

∵∽

则

解得或（不合题意，舍去）

∴

∴

（3）在中，DM⊥AB

∴ …

【解析】（1）首先根据中垂线的性质得到AD=BD，接着得到∠A=∠ABD，而BD平分∠ABC，由此得到∠A=∠ABD=∠DBC，又∠C是公共角，然后利用相似三角形的判定定理即可证明△ABC∽△BCD；

（2）根据（1）可得AD=BD=BC，设AC=1，AD=x，然后利用相似三角形的性质得到，

解方程求得，然后就可以求出；

（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB，根据三角函数的定义即可解决问题．