Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A。

(1)(2分)求c的值；    ．

(2)(6分)若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；

(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点

F。当BF＝1时，求抛物线的解析式．

Answer

(1)3(2) (3) 或

【解析】【解析】
(1)∵抛物线过点A(0，3)，∴c＝3。

(2) ∵a＝－l，∴

如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x＝6的交点应落在C点或C点下方。

               ∴ 当x＝6时，y≤0。

∴，即。

 又∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0。∴0＜。

 由抛物线的对称性可知： 。

 又∵△ADE的高＝BC＝3，∴S＝×b×3＝。

∵＞0，∴S随b的增大而增大。

∴当b＝时，S的最大值＝。

 如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，抛物线与直线

x＝6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即0≤＜3。

当x＝6，则，

∴0≤6b—33＜3，∴≤b＜6。

∴BE＝3－(6b－33)＝36—6b。

∴S＝AD·BE＝·b·(36—6b)＝－3b2+18b。

∵对称轴b＝3＜，∴随b的增大而减小。

∴当b＝时，S的最大值＝。

综上所述：S的最大值为。

 (3)当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。

当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：

①当点M、N分别在AB、OC边上时．

如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．

                ∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°。

                ∵OF垂直平分MN．

∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。

                ∵FB＝1，FC＝3－1＝2。

                ∴tan∠1＝，tan∠2＝＝tan∠1＝。

∴GN＝GM＝1。

设N(n，0)，则G(n－1，0)，∴M(n－1，3)。 ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM。

在Rt△AOM中，，

                ∴，解得n＝5。∴ M(4，3)，N(5，0)。

把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得

，解得。

∴抛物线的解析式为。

②当点M、N分别在AB、BC边上时．如图④，连接MF．

                ∵OF垂直平分MN，

∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN。

 又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。

 ∴∠1＝∠2。

 ∵BF＝1， ∴FC＝2。

∴tan∠1＝tan∠2＝。

                 在Rt△MBN，tan∠1＝，∴BN＝3MB。

设N(6，n)．则FN＝2－n，BN＝3一n。∴MF＝2－n，MB＝。

在Rt△MBF中，∵，∴。

解得： (不合题意舍去)，∴。

∴AM＝6－＝，∴ M(，3)，N(6，) 。

把M(，3)，N(6，)分别代人，得

，解得 。

∴抛物线的解析式为。

综上所述，抛物线的解析式为或。

（1）将点A的坐标代入即可求得c的值。

（2）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。

（3）分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。