Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是    ▲    ．

Answer

48。

【解析】取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，

∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°。

∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG。

∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG。

∴AL=BL，BK=CK。∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，

∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4。

在Rt△ABC中，，∴OM=OQ=AC=5。

∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，

∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48。