Question

在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E.

⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式；

⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交⑴中的抛

物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由.

⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标.

Answer

【解析】
（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA。

在△BCD与△BAE中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC=BA ，∠DBC=∠EBA ，

∴△BCD≌△BAE（ASA）。∴AE=CD。

∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，

∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．

设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：

，解得 。

∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为：。

（2）结论OF=DG能成立．理由如下：

由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。

∵xM=，∴。∴M（）。

设直线MB的解析式为yMB=kx+b，

∵M（），B（4，4），

∴，解得。

∴yMB=x+6。∴G（0，6）。

∴CG=2，DG=4。∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）。

∵OF=2，DG=4，∴结论OF=DG成立。

（3）如图，△PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：

①若PF=FE。

∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，

∴此时P点位于射线CB上。

∵F（2，0），∴P（2，4）。

此时直线FP⊥x轴。来]∴xQ=2。

∴，

∴Q1（2，）。

②若PF=PE。

如图所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF为等腰三角形。

∴此时点P、Q与点B重合。∴Q2（4，4）。

③若PE=EF。

∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，∴此时P点位于射线CB上。

∵E（6，0），∴P（6，4）。

设直线yPF的解析式为yPF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），

∴，解得。∴yPF=x﹣2。

∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上，

∴，化简得5x2﹣14x﹣48=0，

解得x1= ，x2=﹣2（不合题意，舍去）。∴xQ=2。

∴yQ=xQ﹣2=。∴Q3（）。

综上所述，Q点的坐标为Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（）。

【解析】（1）由正方形的性质和△BCD≌△BAE求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。

（2）求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0，求得G点坐标，从而得到线段CG、DG的长度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，从而求得OF的长度．比较OF与DG的长度，它们满足OF=DG的关系，所以结论成立；

（3）分PF=FE、PF=PE和PE=EF三种情况，逐一讨论并求解。