Question

已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，.已知当时，；当时，.

⑴求一次函数的解析式；

⑵已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.

Answer

【解析】
（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1。

将x=1代入反比例函数解析式，，∴点A的坐标为（1，6）。

又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5。

∴一次函数的解析式为y1=x+5。

（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3。

∴。 ∴点C的坐标为（3，2）。

过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2

∴x+5=2，解得x=﹣3。∴点D的坐标为（﹣3，2）。

∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6。

点A到CD的距离为6﹣2=4。

联立，解得（舍去），。∴点B的坐标为（﹣6，﹣1）。

∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3。

∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21。

【解析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答。

（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，根据△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解。