Question

如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．

（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．

（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

Answer

【解析】
（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．  

由已知，AM＝x，AN＝20－x．

∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，

∴ ∠PAN＝∠D＝30º．

在Rt△APN中，PN＝（20－x），

即点N到AB的距离为（20－x）．        

∵ 点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，

∴ x的取值范围是 0≤x≤15．              

（2）根据（1），S△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝=－(x-10)+25．  

∴ 当x＝10时，S△AMN有最大值．

又∵ S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形为定值，

∴ 当x＝10时，S五边形BCDNM有最小值．  

当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．

则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． 

【解析】（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．根据直角三角形30º的角所对的直角边等于斜边的一半可表示出PN即为点N到AB的距离，由点M、N的位置即可得到x的取值范围；

（2）先用含x的代数式表示出△AMN的面积，根据函数解析式的特征可得△AMN的面积最大值时的情况，此时五边形BCDNM面积最小。