Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线经过点B。

（1）求点B的坐标；                

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°；

∴∠BCD=∠CAO； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，

∴ △BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)

（2）抛物线经过点B(3,1)，则得  解得，所以抛物线的解析式为

（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1  使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图1。

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，  ∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD

∴ CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线为上；

②若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图2。

同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），；经检验点P2（-2，1）也在抛物线上；

③若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图3。

同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线上；

故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个。

【解析】本试题主要是考查了抛物线方程的求解，以及三角形全等的运用。

（1）由于等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0）则利用边相等，设过点B作BD⊥x轴，垂足为D，根据△BDC≌△CAO，可知点B点的坐标。

（2）根据上一问中B点的坐标，代入已知的抛物线的解析式中可以得到结论。

（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形: 若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1  使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1

或者以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2分别讨论得到。