Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．

⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

    

Answer

【解析】
⑴直线与⊙P相切．

如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，

∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．

∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．

∴,即，∴PD =2.4(cm) ．

当时，(cm) 

∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径．

∴直线与⊙P相切．

⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴．

连接OP．∵P为BC的中点，∴．

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．

∴或，∴=1或4． 

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

【解析】本试题主要是考查了圆内的性质的运用，以及直线与圆的为何只关系 的综合运用。

（1）当t=1.2时，要判断直线AB与⊙P的位置关系，只要求解圆心到直线的距离与圆的半径的关系即可以得到。

（2）⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，则可以考虑是相互外切还是相互内切的情况，根据圆心距和半径的关系得到