Question

如图9-1，9-2，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持BD=CE.

（1）当点D、E运动到如图9-1所示的位置时,求证：CD=AE.

（2）把图9-1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF的位置（如图9-2），分别连结DF、EF.

① 找出图中所有的等边三角形(△ABC除外)，并对其中一个给予证明；

② 试判断四边形CDFE的形状,并说明理由

Answer

（1）证明见解析（2）①△BDF，△AFE，证明见解析②平行四边形，理由见解析

【解析】（1）∵△ABC是正三角形，

∴BC=CA，∠B=∠ECA=60°.                  …………………………（2分）

          又∵BD=CE，     

            ∴△BCD≌△CAE.                          …………………………（3分）

            ∴CD=AE.                                 …………………………（4分）

（2）① 图中有2个正三角形，分别是△BDF，△AFE.    ……………………（6分）

由题设，有△ACE≌△ABF，

∴CE=BF，∠ECA=∠ABF=60°                   …………………………（7分）

又∵BD=CE，

∴BD=CE=BF，∴△BDF是正三角形，             ………………………（8分）

∵AF=AE，∠FAE=60°，

∴△AFE是正三角形.

② 四边形CDFE是平行四边形.               …………………………（9分）

∵∠FDB=∠ABC =60°

∴FD∥EC.

          又∵FD=FB=EC，

∴四边形CDFE是平行四边形.                 …………………………（11分）

（1）易证△BCD≌△CAE，即可得出；（2）①可得出BD=BF，∠ABF=60°；AF=AE，∠FAE=60°，所以，图中有2个正三角形，分别是△BDF，△AFE；②可证得FD平行且等于EC，即可证得四边形CDFE是平行四边形．