Question

如图所示：直线MN⊥RS于点O，点B在射线OS上，OB=2，点C在射线ON上，OC=2，点E是射线OM上一动点，连结EB，过O作OP⊥EB于P，连结CP，过P作PF⊥PC交射线OS于F。

（1）求证：△POC∽△PBF。

（2）当OE=1，OE=2时， BF的长分别为多少？当OE=n时，BF=_______.

（3）当OE=1时，；OE=2时， ；…,OE=n时，.则=_______.（直接写出答案）

备用图

Answer

（1）证明：∵∠OPB=∠CPF 

∴∠OPC=∠BPF ,

∵∠EOP=∠EOB=90，

∴∠EOP=∠OBP 

∴∠POC=∠PBF

∴⊿POC∽⊿PBF               

(2) 解∵ ⊿POC∽⊿PBF

          ∴OC/BF=PO/PB

∵⊿OPB∽⊿EOB

∴PO/PB=OE/OB

∴OC/BF= OE/OB

∴OE.BF=OC.OB=4               

∴当OE=1时，BF=4;

当OE=2时，BF=2，当OE=n时，BF=4/n.

（3）根据题意得；=2n；

【解析】（1）根据∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根据∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可证出△POC∽△PBF；              

（2）根据△POC∽△PBF，得出OC/BF =PO/PB ，再根据△OPB∽△EOB，得出OE•BF=OC•OB=4，即可求出BF的长；

（3）根据已知条件当OE=1时，S△EBF=S1；OE=2时，S△EBF=S2；…，OE=n时，S△EBF=Sn即可求出S1+S2+…+Sn=2n