Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点。

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使的面积与的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（1）设正比例函数的解析式为，

因为的图象过点，所以，解得．

这个正比例函数的解析式为．

设反比例函数的解析式为．

因为的图象过点，所以，解得．

这个反比例函数的解析式为．

（2）因为点在的图象上，所以，则点．

设一次函数解析式为．

因为的图象是由平移得到的，所以，即．

又因为的图象过点，所以，解得，

一次函数的解析式为．

（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．

设二次函数的解析式为．

因为的图象过点、、和，

所以         解得

这个二次函数的解析式为．

（4）交轴于点，点的坐标是，．

假设存在点，使．∴

在二次函数的图象上，

∴或或

点的坐标为．

【解析】（1）由点A的坐标根据待定系数法即可求得两个函数的解析式；

（2）先根据反比例函数解析式求得点B的坐标，再由平移的特征设出一次函数解析式，最后把点B的坐标代入即可；

（3）先求出点D的坐标，由A、B、D三点坐标根据待定系数法即得二次函数解析式；

（4）先求出点C的坐标，从而得到的面积S，再根据求得点E的纵坐标，最后根据二次函数解析式求得点E的横坐标即可。