Question

如图，抛物线y＝(x＋1)²＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，－3)．

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；

（4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，直接写出出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）x＝－1，k＝－4（2）P (－1，－2) （3）当x＝－ 时，S最大，最大值为（4）（4）存在，点F的坐标为（3,12）、（-5,12）、（-1，-4）

【解析】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，………………………………1分

把C (0，－3)代入y＝(x＋1)2＋k得

－3＝1＋k  ∴k＝－4…………………………………………3分

（2）连结AC，交对称轴于点P

        ∵y＝(x＋1)2－4   令y＝0   可得(x＋1)2－4＝0

∴x1＝1   x2＝－3

∴A (－3，0)   B (1，0)…………………………………………5分

设直线AC的关系式为：y＝m x＋b

把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得b＝－3，m＝－1

∴直线AC的关系式为y＝－x－3……………………………………6分

当x＝－1时，y＝1－3＝－2

∴P (－1，－2)…………………………………………………………7分

（3）过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，设M点坐标为（x，(x＋1)2－4）

S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO＝×AB×|ym|＋×CO×|xm|＋×OC×BO

＝6－ (x＋1)2＋×3×(－x)＋×3×1

＝－x2－ x＋6＝－（x2＋3x－9）＝－（x＋）2+……9分

当x＝－ 时，S最大，最大值为………………………………10分

（4）存在，点F的坐标为（3,12）、（-5,12）、（-1，-4）…………12分

 (1)根据抛物线的图象性质得出对称轴，把C点坐标代入抛物线函数中得出k值；

（2）先求出AC直线的解析式，然后求它与抛物线的对称轴的交点即是PA+PC最小值时的P点坐标；

（3）利用S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO列出一抛物线的解析式，然后利用抛物线的图象性质得出AMCB的最大面积及此时点M的坐标；

（4）分三种情况讨论得出结论。