Question

如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E作直线//BC，交直线CD于点F．将直线向右平移，设平移距离BE为 (t0)，直角梯形ABCD被直线扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

  

信息读取

(1)梯形上底的长AB=      ；

(2) 直角梯形ABCD的面积=          ；

图象理解

(3)写出图②中射线NQ表示的实际意义；

(4) 当时，求S关于的函数关系式；

问题解决

(5)当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1: 3．

Answer

（1）（2）S梯形ABCD=12（3）当平移距离BE大于等于4时，直角梯形ABCD被直线扫过的面积恒为12（4）S=-t2+8t-4(5) 或

【解析】（1） ．……1分

（2）S梯形ABCD=12 ．……1分

（3）射线NQ表示的实际意义：当平移距离BE大于等于4时，直角梯形ABCD被直线扫过的面积恒为12．……2分

（4）当时，如下图所示，

直角梯形ABCD被直线扫过的面积S=S直角梯形ABCD－SRt△DOF

              ．……2分

（5）①当时，有

，解得．……2分

②当时，有

，

即，解得，

（舍去）．……2分

答：当或时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1: 3．

（1）根据图②可知，当0≤t≤2时，E在线段AB上运动（包括与A、B重合），在此期间E点运动了2秒，因此可求得AB的长为2．

（2）根据图形可知：当2＜t＜4时，E在AB的延长线上，且F在D点左侧，此期间E点运动了2秒，因此下底长为2+2=4，根据t=2时，重合部分的面积为8可求出梯形的高为4，因此梯形的面积为1/2 ×（2+4）×4=12．

（3）当t＞4时，直线l与梯形没有交点，因此扫过的面积恒为梯形的面积12．

（4）当2＜t＜4时，直线扫过梯形的部分是个五边形，如果设直线l与AD的交点为0，那么重合部分的面积可用梯形的面积减去三角形OFD的面积来求得．梯形的面积在（2）中已经求得．三角形OFD中，底边DF=4-t，而DF上的高，可用DF的长和∠BCD的正切值求出，由此可得出S，t的函数关系式．

（5）本题要分情况讨论：

①当0＜t＜2时，重合部分的平行四边形的面积：直角梯形AEFD的面积=1：3，据此可求出t的值．

②当2＜t＜4时，重合部分的五边形的面积：三角形OFD的面积=3：1，由此可求出t的值．